การส่งแยกบวกอย่างทั่วถึงซึ่งคงสภาพแรงก์หนึ่งบนเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์ก

จาก ChulaPedia

การปรับปรุง เมื่อ 09:55, 25 มิถุนายน 2556

หนึ่งในหัวข้องานวิจัย ที่น่าสนใจทางทฤษฎีเมทริกซ์ในช่วง 20 ปีที่ผ่านมา คือ ปัญหาตัวคงสภาพแยกบวก (Additive Preserver Problems หรือ APPs) การศึกษาหัวข้อนี้มีหลายแนวทาง หนึ่งในนั้นคือ การจำแนกลักษณะของการส่งแยกบวก (additive maps) ซึ่งคงสภาพสมบัติบางอย่าง เช่น คงสภาพดีเทอร์มิแนนต์ (determinant preservers) คงสภาพการสลับที่ (commutativity preservers) เป็นต้น บนเมทริกซ์บางชนิด เช่น เมทริกซ์สามเหลี่ยม เมทริกซ์จัตุรัส เมทริกซ์ขนาด <math>m\times n</math> เป็นต้น

เมทริกซ์เฮสเซนเบิร์ก คือเมทริกซ์จัตุรัส <math>(a_{ij})</math> ซึ่ง <math>a_{ij}=0</math> เมื่อ <math>j+1<i</math> หรือจะกล่าวว่า เมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กก็คือเมทริกซ์สามเหลี่ยม ที่มีสมาชิกใต้เส้นทแยงมุมเพิ่มขึ้นมาหนึ่งแนวนั่นเอง ดังนั้นจะเห็นว่า เมทริกซ์สามเหลี่ยมก็เป็นเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กแบบหนึ่ง นอกจากนี้เมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กยังคงเป็นเมทริกซ์จัตุรัสด้วย

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส <math>A=(a_{ij})</math> ขนาด <math>n\times n</math> บนฟีลด์ใดๆ เมทริกซ์ <math>A^{\sim}</math> คือเมทริกซ์ <math>(b_{ij})</math> ซึ่ง <math>b_{ij}=a_{n+1-j,n+1-i}</math> สำหรับทุกๆ <math>i</math> และ <math>j</math> เราสามารถสังเกตได้ง่ายๆว่า เส้นทแยงมุมทำหน้าที่เป็นแกนสะท้อนของสมาชิกที่เหลือ ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมุมคงอยู่ที่เดิม

ลักษณะของการส่งแยกบวกอย่างทั่วถึงซึ่งคงสภาพแรงก์หนึ่งบนเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์ก

สำหรับการส่งแยกบวกอย่างทั่วถึง <math>T</math> บนปริภูมิเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์ก การส่ง <math>T</math> คงสภาพแรงก์หนึ่ง ก็ต่อเมื่อ มีอัตสัณฐาน <math>\theta</math> บนฟีลด์ใดๆ และเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กไม่เอกฐาน <math> P</math> และ <math> Q</math> ซึ่ง <math>T</math> จะส่งเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์ก <math> A</math> ไปยัง <math>PA^{theta}Q</math> หรือ จะส่งเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์ก <math> A</math> ไปยัง <math>P(A^{theta})^{\sim}Q</math> ซึ่งบทพิสูจน์ข้อความนี้สามารถดูได้ที่